نوابیغ نابغه نما؛ فرمول اعداد اول

و اما آخرين کشف بزرگ علم ...

فرمول اعداد اول توسط پرفسور سيد محمد رضا هاشمي موسوي کشف شد

فرمول اعداد اول توسط پرفسور سيد محمد رضا هاشمي موسوي کشف شد دانشمندان برای حل این مساله و دریافت جایزه یک میلیون دلاری آن تا سال 3001 فرصت داشتند که پروفسور هاشمی فرمول این اعداد را برای اولین بار کشف و به نام خود ثبت کرد. ظاهرا دانشمندان زیادی در گذشته ادعا کرده بودند که برای این اعداد هیچ فرمولی وجود ندارد اما وی این مهم را طی پژوهشی 20 ساله به انجام رساند. متاسفانه اطلاع رسانی این افتخار مهم بسیار بسیار ضعیف انجام شده.

جل الخالق و المخلوق! اين هم سايتش: www.primenumbersformula.com

یکی این افراد منفور ترین افراد تو زندگیم هستن و دیگری افرادی که مشکلات جامعه (مثل همین فقر و فحشا ده نمکی و پارتی و ...) رو به تصویر می کشن منفورند نزد من!
والا ملت رو احمق حساب کردن واقعا جای تاسفه! Brick wall

سوپر کامپيوتر تالار لحظاتي پيش از پشت مسنجر فرمودند که فرمول را تست کرده اند و اين فرمول حداقل براي m=1 تا حدود m=7000 صحيح ميباشد Shocked

عبارتي که به توان ميرسه (توان عليه!) داخل پرانتزه. ولي من به اشتباه فکر کرده بودم جز صحيحه Embarassed

پس ارسال قبليم رو حذف کردم!

اما براي اثبات غلط بودن اين فرمول (من الان بدون داشتن دليل موجهي! مطمئنم که ارائه فرمول براي اعداد اول شدني نيست!) تصميم گرفتم يه مثال نقض بيارم. اما بعد از محاسبات ديدم رابطه فوق به ازاي تمام مقادير m از 1 تا 6993 اعداد اول توليد ميکنه!!! Shocked

(البته بيش از نصفش 2 هستند)
اين نسخه اول اسکريپتي هست که نوشتم:

کد:

for i1 = 1:10000
m = int2str(i1);
primeFormula = ['2*((2*' m '+1)/2)^floor((2*' m '+1) / ((2*' m ')!+1)*floor(((2*' m ')!+1) / (2*' m '+1)))'];
p = double(vpa(primeFormula))
if ~isprime(p)
p
end
end

که تا m = 6993 بيشتر نميتونه حساب کنه.

بچه ها - احسان نبي و ... - پايه باشيد دقت محاسبات رو ببريم تا بالاخره مثال نقض رو پيدا کنيم!

mhaji نوشته بود:

من الان بدون داشتن دليل موجهي! مطمئنم که ارائه فرمول براي اعداد اول شدني نيست!

عرضم به حضورتان که بنده زمانی در کار تئوری اعداد بودم. پس برایتان بگویم:
۱. هیچ تابع چند جمله‌ای که همواره عدد اول تولید کند، ممکن نیست.
۲. برخلاف حدس شما، ثابت شده است که فرمول تولید عدد اول وجود دارد و شکل این فرمول نیز مشخص است!
قضیه‌ی میلر:
یک عدد حقیقی A وجود دارد، به صورتی که

همواره عدد اول تولید کند. لازم به ذکر است که این قضیه کاملاً وجودی است، و عدد A را ارائه نمی‌کند، و صرفاً وجود چنین عددی را اثبات می‌کند. کوچکترین عددی که در این معادله صدق می‌کند، مقداری در حدود ۱/۳۰۶۳ دارد، ولی خوب، همان‌طور که توضیح داده شد، کسی با این فرمول عدد اول تولید نمی‌کند.
با استفاده از جزء صحیح، می‌توان فرمول‌هایی ارائه داد که بر اساس قضیه‌ی ویلسون اعداد اول تولید می‌کنند. برای اطلاعات بیش‌تر، به ویکی‌پدیای درپیت یا Prime FAQ مراجعه کنید. در مورد این آخری‌ها باید بگویم که خود الگوریتم غربال هم یک فرمول است دیگر! Laughing

اما از این فرمول‌های غراضه، بسیار کارآتر است.

یک توضیح: بدون بررسی ملت رو

فرض نکنین!

توضیح اسمائیلی: بدشانسی ما، الآن می‌خواستم فهرست smileyهای deviantart رو ببینم. فیلتر شده بود. رفتم تو سایت اصلیش، دیدم زده برق رفته! اهه. ولی جوینده یابنده است. لینکش رو تو گوگل گشتم. فکر کنم باید از اول یک بار صفحه رو بدون ترجمه‌ی لینک‌ها save می‌کردم.

اميرحسين نوشته بود:

یک توضیح: بدون بررسی ملت رو

فرض نکنین!

من هم خداي نکرده ايشون (يا شما) رو

فرض نکردم. از نظر من قضيه مشکوک بود (و هست) چون در اينترنت نشوني از کتاب و کارهاي ايشون پيدا نميشه.

اميرحسين نوشته بود:

خود الگوریتم غربال هم یک فرمول است دیگر! Laughing

اما از این فرمول‌های غراضه، بسیار کارآتر است.

قراضه! توصيف خوبيه.
به عنوان مثال همين فرمول آخر، به ازاي هفت هزار مقدار m (از 1 تا 7000) فقط 1652 عدد اول توليد ميکنه (بقيه 2 هاي تکراري هستند). و خود محاسبه اش هم خيلي زياد و وقتگيره. و حتي با Matlab هم کار راحتي نيست.
اين نسخه دوم برنامه است که بيشتر از 7094= m جلو نميره (و بزرگترين عدد اولي که محاسبه ميکنه فقط 13999 هست!)

کد:

p{1} = '2';
ind = 2;

for i1 = 1:7000
m = int2str(i1);
primeFormula = ['2*((2*' m '+1)/2)^floor((2*' m '+1) / ((2*' m ')!+1)*floor(((2*' m ')!+1) / (2*' m '+1)))'];
s = char(vpa(primeFormula));
s = s(1:length(s)-1);
if strcmp( char(vpa(['isprime(' s ')'])), 'true' ) == 0
s
elseif strcmp( s, '2' ) == 0
p{ind} = s;
ind = ind + 1;
end
end

متاسفم! اين يه جور تريک ساده هست! در حالي که اين فرمول درست هست و عمرا شما نميتونيد براش مثال نقضي پيدا کنيد، اما اصلا و ابدا اين فرمول به هيچ دردي نخواهد خورد!

دقايقي چند فرصت داريد که در اين مسئله "غور" نمائيد ... Wink

ما که مونديم چي بنويسم .....شما رو نمي دانيم ولي من فکر مي کنم درست باشه

جناب mhaji عزیز من واقعا تو کف موندم شما چطور با matlab تونستی محاسبات رو انجام بدی
من از BigDecimal جاوا هم استفاده کردم و تا 100000 رقم اعشار هم دقت رو بالا بردم ولی برای m از 3 به بعد چیزی جز 2 ندیدم که ندیدم که ندیدم
میشه بگی با کدوم m ها چیزی غیر از 2 تولید میشه ؟
اینم برنامه ی من

کد:

import java.math.*;

public class A {
static BigDecimal TWO = new BigDecimal(2);

public static void main(String[] args) throws Exception {
   int m = Integer.parseInt(args[0]);
   System.out.println("m = " + m);
   System.out.println(h(m));
}

static BigDecimal h(int m) {
   BigDecimal a = new BigDecimal(2 * m + 1);
   BigDecimal b = factorial(2 * m).add(BigDecimal.ONE);
   return a.divide(TWO).pow(floor(divide(a, b).multiply(floor(divide(b, a)))).intValueExact()).multiply(TWO);
}

static BigDecimal floor(BigDecimal bd) {
   return bd.setScale(0, BigDecimal.ROUND_DOWN);
}

static BigDecimal divide(BigDecimal a, BigDecimal b) {
   return a.divide(b, 1000, BigDecimal.ROUND_DOWN);
}

static BigDecimal factorial(int n) {
   BigDecimal factorial = new BigDecimal(1);
   for(; n > 1; n--)
      factorial = factorial.multiply(new BigDecimal(n));
   return factorial;
}
}

Oscar نوشته بود:

جناب mhaji عزیز من واقعا تو کف موندم شما چطور با matlab تونستی محاسبات رو انجام بدی
من از BigDecimal جاوا هم استفاده کردم و تا 100000 رقم اعشار هم دقت رو بالا بردم ولی برای m از 3 به بعد چیزی جز 2 ندیدم که ندیدم که ندیدم
میشه بگی با کدوم m ها چیزی غیر از 2 تولید میشه ؟

برنامه جاواي شما احتمالا باگ داره Embarassed

اين تعدادي از زوجهاي m و H

(1,3)
(2,5)
(3,7)
(5,11)
(6,13)
(8,17)
(9,19)
(11,23)
(14,29)
(15,31)
(18,37)
(20,41)
(21,43)
(23,47)
(26,53)
(29,59)
(30,61)
(33,67)
(35,71)
(36,73)
(39,79)
(41,83)
(44,89)
(48,97)
(50,101)
(51,103)
(53,107)
(54,109)
(56,113)
(63,127)
(65,131)
(68,137)
(69,139)
(74,149)
(75,151)
(78,157)
(81,163)
(83,167)
(86,173)
(89,179)
(90,181)
(95,191)
(96,193)
(98,197)
(99,199)

احسان نوشته بود:

اما اصلا و ابدا اين فرمول به هيچ دردي نخواهد خورد!
Angel

در اين شکي نداريم که استفاده عملي نداره. اما اگه درست باشه شايد از نظر تئوري به يه دردي بخوره. هرچي باشه نوشته 20 سال داشته روش فکر ميکرده! Smile

به هر حال بي صبرانه منتظر نتايج و نظرات جالب احسان هستيم Applause

من هم همین مشکل 2 و اسه m بزرگتر از 3 با maple دارم!

نمیشه گفت باگ
ایراد اصلی برنامم اینه که برای انجام تقسیم ها خودشو درگیر ارقام اعشاری میکنه و دقت اعداد از بین میره
زمانی که قسمت اعشاری عدد نامتناهی هست، دیگه فرقی نمیکنه تا چند میلیون رقم اعشار محاسباتم دقت داشته باشه، مسئله اینه که اصلا روش تقسیم به این شکل دقت رو از بین خواهد برد
matlab همچین مشکلی نداره

با یک مثال میگم
من میخوام 7 رو بر 721 تقسیم کنم سپس در 103 ضرب کنم
خوب متلب میاد عوامل اول 7 و 721 رو حذف میکنه نتیجه میشه 1 به 103 سپس در 103 ضرب میشه جواب میشه 1
ولی برنامه ی من یک اشتباه بزرگ مرتکب میشه اونم اینکه میگه 7 تقسیم بر 721 میشه
0.00970873786407766990291262135922330097087378640776699029126
حالا تا هر چند رقم اعشار دیگه فرقی نمیکنه چون این عدد وقتی در 103 ضرب بشه دیگه هیچ وقت به 1 نمیرسه و جزء صحیحش بی چون و چرا میشه 0

تولید اون 2 ها از همین جا ناشی میشه Brick wall

آخه من تا اونجا که می دونم maple حداقل هیچ تقریب بی موردی در مورد تقسیم و ... انجام نمی دهد!

___
ویرایش : جالبه الان یه اتفاقی عجیب افتاد که هر3 بار یه بار 2 می ده مثلا و اسه 4 و 7 و 10 و ...
تا اونجا که می دونم اون جز صحیح بالایی ها صفر می شن!
ک
من مطمئنم در maple می شه تا هر مقداری کامپیوتر اجازه بده بالا رفت!

Oscar نوشته بود:

نمیشه گفت باگ
ایراد اصلی برنامم اینه که برای انجام تقسیم ها خودشو درگیر ارقام اعشاری میکنه و دقت اعداد از بین میره
زمانی که قسمت اعشاری عدد نامتناهی هست، دیگه فرقی نمیکنه تا چند میلیون رقم اعشار محاسباتم دقت داشته باشه، مسئله اینه که اصلا روش تقسیم به این شکل دقت رو از بین خواهد برد
matlab همچین مشکلی نداره

درسته. ولي خودت نميتوني يه تابع براي محاسبه خارج قسمت صحيح بنويسي؟ (اگه نداره). فکر نميکنم (يعني همينجوري دارم ميپرونم) کار سختي باشه.
من از همين تريبون رسما اعلام ميکنم که تا اثبات اين قضيه رو به چشم خودم نبينم براش دنبال مثال نقض ميگردم و اينقدر مصممم! که حاضرم تا حوالي مثبت بينهايت هم برم Twisted Evil

نبي نوشته بود:

من هم همین مشکل 2 و اسه m بزرگتر از 3 با maple دارم!

خب اينطور که معلومه استفاده از اين فرمول سخت تر از چيزيه که در ابتدا به نظر ميومد! بعيد ميدونم خود دکتر موسوي هم بيشتر از m = 100 رفته باشه!

شما هرگز به مثال نقضي نخواهيد رسيد!
پيشاپيش از طرز نوشتن نه چندان خوبم عذرخواهي ميکنم، سالهاست که مسئله رياضي حل نکردم!

براي سادگي کار، 2m+1 را a ميناميم.
به اين ترتيب فرمول فوق به صورت

2*(a/2)^floor(a/((a-1)!+1) * floor(((a-1)!+1)/a))

در خواهد آمد. (فقط يک تغيير متغير ساده در فرمول اصلي، که ميتوانيد آنرا انجام ندهيد!)

فرض کنيد که a عددي اول نباشد:
در اين حالت

(a-1)!

مطمئنا بر a بخشپذير است. (a اول نيست، پس حتما به صورت x*y خواهد بود که مطمئنا x و y بين 2 و a-1 بوده و در حاصل فاکتوريل فوق نقش خواهند داشت)
نتيجتا

(a-1)! / a

ساده شده و يک عدد صحيح خواهد بود. به بيان ديگر داخلي ترين جزء صحيح باعث حذف 1/a از عبارت

(a-1)! / a + 1/a

خواهد شد.
در صورت عدم حذف اين جمله توسط جزء صحيح داخلي، حاصل کل جزء صحيح خارجي برابر يک ميبود، اما با حذف اي جمله مطمئنا مقدار عبارت درون جزء صحيح بيروني کمتر از يک و در نتيجه حاصل اين جزء صحيح (بيروني) برابر صفر خواهد شد. صفر بودن اين جزء صحيح باعث ميشود که کل عبارت به سادگي حاصل 2 را نتيجه دهد!
نتيجتا اين فرمول هرگز عدد غير اولي را ايجاد نخواهد کرد!

___
توضيح در مورد بي استفاده بودن اين الگوريتم:
«اين فرمول تنها چک ميکند که آيا 2m+1 اول است يا خير!!!»
ساده ترين الگوريتم تشخيص اول بودن يک عدد، تقسيم بر اعداد اول کمتر از جذر آن است. راه ديگر آن است تمام اعداد ماقبل آن را در يکديگر ضرب نموده و حاصل را بر عدد مورد بحث تقسيم نمائيم که بداهتا نسبت به روش اول روش مزخرفي به حساب مي آيد! (به سادگي قابل اثبات است که تقسيم پذير بودن حاصلضرب فوق به عدد به معناي اول نبودن آن عدد است)
روش ارائه شده بالا از اين قضيه بسيار ساده استفاده ميکند، فرمول ارائه شده همانقدر کاربرد خواهد داشت که قضيه ذکر شده کاربرد داشته است! با ساده کردن فرمول ارائه شده، به همان فرمولهاي ساده دوره راهنمائي و دبيرستان خواهيم رسيد. اين فرمول تنها به درد اضافه کردن به آرشيو چندهزارتائي نابغه نماها ميخورد و بس!