سرگرمیهای ریاضی

در اين موضوع قراره مسائل و قضاياي جالب رياضي که حل اونها بيشتر معماگونه و شبيه سرگرميه مطرح بشه تا اونهايي که بيشتر به رياضي علاقه دارن، بتونن خودشون رو آزمايش کنن. توصيه مي‌شه که قبل حل يک مساله، مساله جديدي مطرح نشه. ضمنا طراح مساله موظف باشه که مرتب جوابها رو چک کنه و اگر بعد از مدتي مساله حل نشد، جواب صحيح رو بنويسه و مثل موضوع معما نشه که گاهي جواب پيدا نميشه و طراح هم فراموش مي‌کنه يا اينکه طراح جوابهاي ارسالي رو اصلا چک نکنه.

سوال اول يک قضيه معروف هندسه است که ترجيح مي‌دم فعلا اسمش رو نگم:

ثابت کنيد هر گاه سه نقطه 'A و 'B و 'C واقع بر اضلاع مثلث ABC يا امتداد آنها، بر يک خط راست واقع شوند، آنگاه خواهيم داشت:

و برعکس، يعني اگر رابطه فوق بر قرار باشد، آنگاه سه نطقه 'A و 'B و 'C بر يک خط راست واقعند.

فكر نمي‌كردم اين موضوع توي تالاري كه اينقدر مدعي رياضيات داره حتي يك علاقمند هم غير از خودم پيدا نكنه Sad

. بهر حال به همين دليل اين موضوع رو ادامه نمي‌دم. اما براي كسانيكه ممكنه بعدا علاقمند بشن يه سر نخ بدم كه قضيه بالا به قضيه منلائوس معروفه.

عبود نوشته بود:

فكر نمي‌كردم اين موضوع توي تالاري كه اينقدر مدعي رياضيات داره حتي يك علاقمند هم غير از خودم پيدا نكنه Sad

. بهر حال به همين دليل اين موضوع رو ادامه نمي‌دم. اما براي كسانيكه ممكنه بعدا علاقمند بشن يه سر نخ بدم كه قضيه بالا به قضيه منلائوس معروفه.

علاقمند بيد، خيلي هم بيد، اما مسئله هم سخت بيد!!! Confused

احسان نوشته بود:

عبود نوشته بود:

فكر نمي‌كردم اين موضوع توي تالاري كه اينقدر مدعي رياضيات داره حتي يك علاقمند هم غير از خودم پيدا نكنه Sad

. بهر حال به همين دليل اين موضوع رو ادامه نمي‌دم. اما براي كسانيكه ممكنه بعدا علاقمند بشن يه سر نخ بدم كه قضيه بالا به قضيه منلائوس معروفه.

علاقمند بيد، خيلي هم بيد، اما مسئله هم سخت بيد!!! Confused

اتفاقا اين قضيه رو به اين دليل انتخاب کردم که ظاهرش خيلي سخته، اما وقتي شروع به حل کني مي‌بيني که خيلي آسونه. اين نشون مي‌ده که Wink

اما براي حلش هم خيلي ساده از رئوس مثلث به خط راست عمود مي‌کني. يک جهت رو مثبت و يکي رو هم منفي فرض مي‌کني. اونوقت تشابه مثلثها و تمام. براي برعکسش هم برهان خلف يکي از راههاي پيشنهاديه. يعني فرض مي‌کني که سه نقطه در يک راستا نباشن و الي آخر. به هر حال حالا که اسم قضيه رو گفتم، خيلي راحت با يک جستجوي ساده، جوابش بدست مياد.
حالا که مي‌گي علاقمند هست، با يک مسئله جالب ديگه امتحان مي‌کنم. اين مسئله مربوط به احتمالاته:
صفحه‌اي رو فرض کنيد که تعداد بيشمار خط راست هم‌راستا (موازي) با هم روي آن قرار دارند و فاصله هر دو خط مجاور برابر a باشد. حالا اگر سوزني را به طول b و (b<a) روي صفحه بياندازيم، حساب کنيد احتمال اينکه اين سوزن يکي از خطها را قطع کند.
اين يکي ظاهرش هم ساده‌است. Smile

pi/4

اکتيو نوشته بود:

pi/4

حل نکرده ميدونم که مطمئنا جواش ميشه "نچ!" Speak to the hand

چون زيرا a و b مگر کشک بيده ميباشند؟ Brick wall

عبود نوشته بود:

حالا که مي‌گي علاقمند هست، با يک مسئله جالب ديگه امتحان مي‌کنم. اين مسئله مربوط به احتمالاته:
صفحه‌اي رو فرض کنيد که تعداد بيشمار خط راست هم‌راستا (موازي) با هم روي آن قرار دارند و فاصله هر دو خط مجاور برابر a باشد. حالا اگر سوزني را به طول b و (b<a) روي صفحه بياندازيم، حساب کنيد احتمال اينکه اين سوزن يکي از خطها را قطع کند.
اين يکي ظاهرش هم ساده‌است. Smile

اگر سوتي نداده بيده باشم بايد بشه:

(4*b)/(a*pi)

احسان نوشته بود:

عبود نوشته بود:

حالا که مي‌گي علاقمند هست، با يک مسئله جالب ديگه امتحان مي‌کنم. اين مسئله مربوط به احتمالاته:
صفحه‌اي رو فرض کنيد که تعداد بيشمار خط راست هم‌راستا (موازي) با هم روي آن قرار دارند و فاصله هر دو خط مجاور برابر a باشد. حالا اگر سوزني را به طول b و (b<a) روي صفحه بياندازيم، حساب کنيد احتمال اينکه اين سوزن يکي از خطها را قطع کند.
اين يکي ظاهرش هم ساده‌است. Smile

اگر سوتي نداده بيده باشم بايد بشه:

(4*b)/(a*pi)

محض اينکه بدوني pi داره گفتم؛ وگر نه a و b کشک نيستند، دو حرف اول الفباي برادران استعمارگر هستند!

اکتيو نوشته بود:

pi/4

احسان نوشته بود:

اگر سوتي نداده بيده باشم بايد بشه:

(4*b)/(a*pi)

متاسفانه هر دوش غلطه! Not talking

اما احسان خيلي نزديک شده. Applause

(pi*b)/(a*4)

از همين الان گفته باشم...
اينو مثل جواب قبلي کاملاً حدسي پروندم! اميدوارم احسان گير نده.

به نام خدا

اگه من هم اشتباه نکنم جواب ميشه:

2b/a*pi

ضمنا تا جايي که من مي دونم جرج بوفمن (Georges Buffon ) رياضي دان فرانسوي قرن هيجدهم با استفاده از همين ايده براي اولين بار به محاسبه مقدار واقعي pi بر مبناي احتمالات دست زد. به اين صورت که يک صفحه با خط هاي موازي به فاصله واحد از هم و يک سوزن با طول b کمتر از واحد را در نظر گرفت طبق فرمول بالا احتمال اينکه سورن را روي صفحه پرتاب کنيم و يکي از خطوط را قطع کند برابر است 2b/pi (چون a در اينجا برابر 1 است) .
او با به دست آوردن احتمال قطع شدن خط ها به وسيله سوزن با استفاده از چندين بار پرتاب سوزن و سپس استفاده از p=2b/pi مقدار تقريبي pi را به دست آورد . با افزايش تعداد پرتاب و به دست آوردن هرچه دقيق تر احتمال مي توان عدد pi را تا دقت دلخواه محاسبه کرد.

اما حالا که سخن از Pi و محاسبه مقدار اون به ميان اومد يه ليست کوچک از محاسبه کنندگان معروف pi در طول تاريخ مي نويسم:

Ptolemy (c. 150 AD) 3.1416

Zu Chongzhi (430-501 AD) 355/113

al-Khwarizmi (c. 800 ) 3.1416

al-Kashi (c. 1430) 14 places

Viète (1540-1603) 9 places

Roomen (1561-1615) 17 places

Van Ceulen (c. 1600) 35 places

اين ليست رو از قول اروپايي ها نقل کردم و گرنه در واقع کاشاني تا 19 رقم اعشار pi را به دست آورده بود.
کار غياث الدين جمشيد کاشاني واقعا برجسته بوده است چون تقريبا 200 سال بعد از او تازه دانشمندان برجسته توانستند رکورد او را بدست آورند.
توضيح دگر هم اينکه کاشاني براي محاسبات خود از مبناي 10 استفاده نمي کرد بلکه از مبناي 60 که در ميان دانشمندان ايراني براي محاسبات علمي رواج داشت استفاده مي کرد.

wp.ark نوشته بود:

به نام خدا

اگه من هم اشتباه نکنم جواب ميشه:

2b/a*pi

ضمنا تا جايي که من مي دونم جرج بوفمن (Georges Buffon ) رياضي دان فرانسوي قرن هيجدهم با استفاده از همين ايده براي اولين بار به محاسبه مقدار واقعي pi بر مبناي احتمالات دست زد. به اين صورت که يک صفحه با خط هاي موازي به فاصله واحد از هم و يک سوزن با طول b کمتر از واحد را در نظر گرفت طبق فرمول بالا احتمال اينکه سورن را روي صفحه پرتاب کنيم و يکي از خطوط را قطع کند برابر است 2b/pi (چون a در اينجا برابر 1 است) .
او با به دست آوردن احتمال قطع شدن خط ها به وسيله سوزن با استفاده از چندين بار پرتاب سوزن و سپس استفاده از p=2b/pi مقدار تقريبي pi را به دست آورد . با افزايش تعداد پرتاب و به دست آوردن هرچه دقيق تر احتمال مي توان عدد pi را تا دقت دلخواه محاسبه کرد.

اما حالا که سخن از Pi و محاسبه مقدار اون به ميان اومد يه ليست کوچک از محاسبه کنندگان معروف pi در طول تاريخ مي نويسم:

Ptolemy (c. 150 AD) 3.1416

Zu Chongzhi (430-501 AD) 355/113

al-Khwarizmi (c. 800 ) 3.1416

al-Kashi (c. 1430) 14 places

Viète (1540-1603) 9 places

Roomen (1561-1615) 17 places

Van Ceulen (c. 1600) 35 places

اين ليست رو از قول اروپايي ها نقل کردم و گرنه در واقع کاشاني تا 19 رقم اعشار pi را به دست آورده بود.
کار غياث الدين جمشيد کاشاني واقعا برجسته بوده است چون تقريبا 200 سال بعد از او تازه دانشمندان برجسته توانستند رکورد او را بدست آورند.
توضيح دگر هم اينکه کاشاني براي محاسبات خود از مبناي 10 استفاده نمي کرد بلکه از مبناي 60 که در ميان دانشمندان ايراني براي محاسبات علمي رواج داشت استفاده مي کرد.

آفرين!

عالي بود.
تقريبا همه چيزي رو که مي‌خواستم بعد از پيدا شدن جواب بنويسم، زحمتش رو شما کشيدين. ممنون.
فقط يه لينک اضافه مي‌کنم که اگر کسي خواست آزمايش بوفون رو انجام بده، بتونه بدون صفحه و سوزن واقعي هم انجامش بده، اينجا رو بکليکيد.

راه حل لطفا!

احسان نوشته بود:

راه حل لطفا!

مثلا جنابعالي آخر جستجويي! Not talking

http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html

http://users.forthnet.gr/ath/kimon/Buffon.htm

http://www.cut-the-knot.org/fta/Buffon/buffon9.shtml

فکر کنم کافي باشه.

يک مساله جالب و قابل تامل آمار و احتمال!

فرض کنيد يک متحرک در يک خط (مسير يک بعدي) در هر واحد زمان به طور تصادفي (با توزيع کنواخت) يک واحد به سمت چپ يا راست حرکت ميکنه. بعد از گذشت T واحد زمان حتما انتظار داريد که متحرک به طور متوسط چيزي جابجا نشده باشه؛ يعني هنوز در مکان اوليه اش (مبدا) قرار گرفته باشه. اما نه! بعد از گذشت اين زمان، متحرک، به طور متوسط، تقريبا در فاصله اي برابر با جذر T از مبدا (با احتمال مساوي در سمت چپ يا راست) قرار ميگيره!
اين هم کد خيلي ساده شبيه سازيش:

nTrails = 10000;
sumDisplacement = 0;
T = 100;

for n = 1:nTrails
displacement = 0;
for t = 1:T
r = rand;
if r > 0.5
displacement = displacement + 1;
else
displacement = displacement - 1;
end
end
sumDisplacement = sumDisplacement + abs(displacement);
end

sumDisplacement / nTrails

اين مساله معروفي که نوشتم، يکي از چيزايي بود که من رو در عنفوان جواني به علم آمار و احتمال علاقه مند کرد Wink

البته نميدونم براي شما هم جالب بود يا نه، به هر حال عمدتا براي اين نوشتمش که اکتيو و شايد بقيه کاربران تالار! از من انتظار داشتند که مطلب علمي هم بنويسم. و حالا دوست دارم شما در اين مساله تامل، تعمق و غور کنيد Think