سوال ریاضی در مورد تابع

سلام دوستان من ميخواستم بدونم که از حاصل ضرب دو مجموعه ي n عضوي چند رابطه ي آن تابع است و چند تاي آن يک به يک است و چند تا پوشا و آيا رابطه ي خاصي وجود دارد بين آنها
ممنون ميشم اگه اطلاعات داريد به منم بديد

تعداد روابط برابر است با:

2^(n^2)

ميشه به راحتي نشون داد که از اينها:

n^n

تا تابع هستند.

اما از اين توابع چه تعداد يک به يک هستند؟

n!

و چه تعداد پوشا هستند؟

d'oh!

هرچي فکر ميکنم ميبينم تعداد توابع پوشا هم بايد ! n باشه Sad

من ديگه عقلم بيشتر از اين قد نميده
از بزرگان رياضي تالار، دانشمندان گرانقدر عبود، اکتيو و armoazn هم درخواست ميکنم که تعداد توابع پوشا رو محاسبه کنند و ما رو در جريان آخرين يافته هاشون قرار بدن.
Pray

با اغماض در مورد ايرادات موجود در صورت سوال و فرضيات زير، من مسئله رو اينجوري حل ميکنم.
مجموعه اول ما A هست که در واقع دامنه ما رو تشکيل ميده.
مجموعه دوم ما B هست که در واقع برد ما رو تشکيل ميده.
منظور از (m,r) هست:

m!/(r!*(m-r)!)

و از [m,r] هست:

m!/(m-r)!

تنها جواب درست مولانا تعداد روابط بود وبس! همونطور که مهدي گفت تعداد روابط هست.
چون با ضرب A*B ما n^2 زوج مرتب خواهيم داشت که هر کدوم ميتونن توي رابطه ما باشن يا نباشن! و اين يعني تعداد روابط ممکن برابر است با

a^(n^2))

اما در مورد تعداد توابع. متاسفانه به نظر من مولانا اينجا سوتي داده و توابعي که کل دامنه رو تحت پوشش قرار نميدن رو نشمرده!
تعداد توابع با دامنه تهي = 1
تعداد توابع با دامنه يک عضوي =

(n,1)*n^1

تعداد توابع با دامنه دو عضوي =

(n,2)*n^2

تعداد توابع با دامنه i عضوي =

(n,i)*n^i

چرا؟ چون تعداد حالات انتخاب اعضاي دامنه (i عضو) برابر (n,i) و تعداد زوجهاي مرتبي که خاصيت تابع بودن رابطه رو نقض نکنند برابر n^i خواهد بود. (توجه داشته باشيد که براي اينکه رابطه تابع باشد، از هر عضو دامنه بايستي حداکثر يک نگاشت به اعضاي مجموعه برد موجود باشد)

خب! نتيجه؟ تعداد توابع ممکن عبارتند از:
مجموع

(n,i)*n^i

براي i از 0 تا n
(حس فرمول نوشتن لا موجود! شما به صورت سيگما ببينيد!)

سوتي دوم! تعداد توابع يک به يک:
به روش اولي (اولا بخونيد نه اولي!!!)
مجموع

(n,i)*[n,i]

براي i از 0 تا n
(حس فرمول نوشتن لا موجود again! شما به صورت سيگما ببينيد!)

و اما در مورد تعداد توابع پوشا:
فکر ميکنم اينطوري مساله خيلي ساده شده باشه! با توجه به گسسته بودن دامنه و برد، و با توجه به اينکه تعداد اعضاي دامنه و برد با يکديگر برابرند، توابع پوشا، همان توابع يک به يک با دامنه n عضوي خواهند بود و بالعکس!
بنابراين تعداد توابع پوشا=

(n,n)*[n,n]

يا

n!

در مورد تعداد روابط موافقم.

2^(n^2)

در مورد تعداد توابع جواب من شبيه جواب mhaji شد. با اين توضيح که اگر تابع را رابطه‌اي تعريف کنيم (براي مسائل گسسته مثل اين مساله) که هر عضو دامنه آن فقط در سمت چپ يک ضابطه حضور داشته باشد، حال با در نظر گرفتن n ضابطه براي هر تابع فرضي که طرف چپ هر کدام از آنها يکي از اعضاي مجموعه تشکيل دهنده دامنه و طرف راست هر کدام از n عضو مجموعه تشکيل دهنده برد به اضافه هيچي (علامت حذف شدن ضابطه) باشد، جمعا n+1 عضو براي مجموعه تشکيل دهنده برد به ازاي هر ضابطه خواهيم داشت که تعداد توابع خواهد شد:

(n+1)^n

براي محاسبه تعداد يک به يکها، چون مسئله گسسته است، بايد به اين مورد توجه کنيم که در توابع يک به يک گسسته تعداد اعضاي دامنه و برد يکسانند. بنابراين تعداد توابع يک به يک، سيکماي انتخاب i عضو از هر مجموعه در !i (جابجايي براي هر i تايي) مي‌شود.

sum( combination(n,i)*combination(n,i)*i! , i=1..n )

که با جواب احسان يکي است.

در مورد تعداد توابع پوشا هم بايد تعداد اعضاي مجموعه برد n باشد که چون تعداد اعضاي دامنه بايد بزرگتر يا مساوي برد باشد (تابع)، رابطه فوق به ازاي i=n فقط محاسبه مي‌شود که برابر است با:

combination(n,n)*combination(n,n)*n! = n!

که با جواب احسان و mhaji يکي است.

تابع f از مجموعه X (دامنه) به مجموعه Y (برد) که با علامت:

f : X-> Y

نشون داده ميشه به هر عضو مجموعه X فقط يک عضو از Y رو منسوب ميکنه.
با استدلال ساده اي (مشابه همون چيزي که عبود نوشته) ميشه نشون داد که تعداد توابع از يک مجموعه n عضوي به يک مجموعه n عضوي ديگه برابر است با n^n. همون چيزي که ديشب گفتم و "شبهاي دگر هم" *

به راستي اين روزها احسان را چه ميشود؟
تعريف تابع را به دست فراموشي سپرده است يا خروارها دانش ما را؟ Liar

خداوند همه ما را به راه راست هدايت کند Pray

--------------------
* رفت در ظلمت غم آن شب و شبهاي دگر هم

و اگر

A={a,b,c}

و

B={x,y,z}

آيا
از

2^(n^2)

رابطه، رابطه

f = {(a,x), (b,y)}

يک تابع از A*B هست يا خير؟؟؟

نقل قول:

به راستي اين روزها احسان را چه ميشود؟
تعريف تابع را به دست فراموشي سپرده است يا خروارها دانش ما را؟
خداوند همه ما را به راه راست هدايت کند

من سکوت! اما تعداد توابع رو که غلط نوشتي! (از نظر من!)، تعداد يک به يک ها رو هم! (از نظر من و عبود)، تعداد پوشاها رو هم که شانسي انداختي!!! من چي بگم آخه؟؟؟

احسان نوشته بود:

و اگر

A={a,b,c}

و

B={x,y,z}

آيا
از

2^(n^2)

رابطه، رابطه

f = {(a,x), (b,y)}

يک تابع از A*B هست يا خير؟؟؟

نه

f که مثال زدي، تابعي از يک زير مجموعه از A (نه خود A) به يک زير مجموعه از B هست.
خلاصه اينکه مطمئن شدم، عليرغم همه صفات خوبي که داري ، تعريف تابع رو بلد نيستي، Speak to the hand

مولانا! مسئله رو کج ميبيني!!!
به هر حال با اين استدلال يا بايد در تعداد رابطه ها تجديد نظر کني يا در تعداد توابع!
مثلا {(a,x)} يا يک رابطه هست يا نيست، اگر هست پس تابع هم هست (چون شرط تابع بودن رو نقض نميکنه) و اگر نيست بايد در تعداد رابطه ها تجديد نظر کني.

اگر فرض کنيم که {(a,x)} يک تابع نيست، چون تمام اعضاي A را نگاشت نميکند، بنا براين به همين دليل بايستي آن را يک رابطه نيز به حساب نياوريم.

همين!
من به گفته ام اعتقاد دارم و دلائلم رو هم نوشتم. اگه استدلال ديگه اي هست که خوشحال ميشم بدونم اما همونطور که گفتم به نظر من استدلال مهدي در مورد تعداد توابع، مستقيما تعداد رابطه ها رو زير سوال ميبره.

واي خيلي ممنون دستتون درد نکنه Applause

خيلي جالب بود Shocked

من که هر چي فکر کردم و به هر کتابي زدم به نتيجه نرسيدم d'oh!

خيلي خيلي ممنون
اين سايت مخ رياضي زياد داره Applause

خدا کنه هميشه موفق باشيد Pray

بازم ازتون ممنونم